Genellikle mekanikte biz maddesel noktalar veya kütlesi sabit olan cisimler ile uğraştığımızdan, bir cisme ait hareket denklemi,

dir. Burada F, cisme etkiyen dış kuvvet; v, hız vektörü ve m de sabit kabul edilen kütledir. Ancak bu denklem kütlesi azalan veya artan cisimler için geçerli değildir. Roketler gibi kütlesi değişen cisimler için m(t) ve hız vektörü de v(t) ile gösterirsek, cismin lineer momentumu,

olur. Buna göre genelleştirilmiş hareket denklemi şöyle ifade edilir: Hareket halinde bulunan bir cismin (sistemin) lineer momentumunun zamana göre türevi, o cisme etkiyen toplam dış kuvvete eşittir. Yani

dir.

 

Sistem: Birbiriyle uzak veya yakın ilişkisi bulunan ve bir bütün teşkil eden elemanlar topluluğuna sistem denir. Örneğin, t₁ anında uzayda bir yer işgal eden ve aralarında bir çekim kuvveti bulunan maddesel noktalar, birbirlerine göre izafi bir harekete sahip olsalar bile herhangi bir t₂ anında aynı karakteri koruyorlarsa, bu maddesel noktalar bir sistem teşkil ediyorlardır. (3) denklemi bir sistem için geçerlidir.
 

Kontrol Hacmi: Bir ortamdan bölünerek çıkarılmış olan sabit bir hacimdir. Aynı maksada hizmet eden elemanlardan teşekkül etme zorunluluğu yoktur. Böyle hacimler için kütle korunumu söz konusu olmadığından (3) denklemi direkt olarak geçerli değildir. (2) denklemiyle verilen momentum ifadesi tek hızı olan sistemler (veya hızı sistemin bir noktasından diğer bir noktasına göre değişmeyen haller) için geçerlidir. Eğer sistem, kütleleri m_i(t) ve hız vektörleri _i(t) (i=1,2,...,N) olan N elemandan oluşmuş ise, lineer momentumun ifadesi,
 

olur. Bu maddesel noktaların sayısı N arttırılırsa , sistem sürekli bir ortam halini alır. Sürekli sistem hali için momentum ifadesi,
 

olur.  olurken toplam momentum bir integral ile gösterilirse,
 

olur. Burada   , sistemin kapladığı hacmi göstermektedir ve integral bu hacmin üzerinden alınmalıdır.

Şimdi, bazı özel hallerde, durumu inceleyelim. Diyelim ki dış kuvvetler sıfır olsun. Yani yerçekimi çok küçük, yok denebilir ve hava basıncı da ihmal edilsin. Bu durumda,
 

               ( ----------------)

olur. Yani sistemin lineer momentumu zamanla değişmiyor, sabittir. Diğer bir deyişle lineer momentum korunmuş olur. (7) denklemini t₁ den t₂ ye kadar integre edersek,

 

buradan
 

elde edilir. Bu bilgileri bir rokete uygularsak, t₁ zamanının toplam kütlesi m ve yere göre hızı olan bir roket düşünelim. Yakıt sarfiyatı nedeniyle kütlede değişimler olacağından t₂ zamanındaki toplam kütle m + m ve mutlak hız ise + olacak, ayrıca arkada -m kütleli ve yere göre hızı olan bir egzos gaz kütlesi hasıl edecektir. Buna göre hız artışı ile kütle artışı arasındaki bağlantıyı bulunuz.

 

	Çözüm:

Dış kuvvetler sıfır olduğundan toplam momentum korunuyor demektir. O halde (8) denklemini kullanabiliriz. Bunun için t₁ ve t₂ zamanındaki momentum ifadelerini bilmemiz gerekir.
 

olur. (9) denklemini açarsak,
 

bulunur, halbuki biliyoruz ki   olduğundan,
 

bulunur. Burada   olduğundan ihmal edilebilir. Böylece



 

denklemini elde ederiz. Rokette tepki kuvvetinin meydana gelebilmesi için   ile _e nin ters yönlü olması gerekir. Eğer (11) denkleminde vektör işaretlerini kaldırırsak,

 

olur. Pratikte V_e sabit kabul edildiğinden,

 

dir. Şimdi t = 0 dan t = t ye kadar integre edersek,

 

bulunur. Burada, _o ve m_o ; t = 0 anındaki hız ve kütledir. Belli bir t_f  zaman sonra pratik olarak bütün yakıt harcanmış olacaktır. Eğer,  m_f 'ye toplam yakıt kütlesi,  m_r 'ye de boş roket kütlesi dersek,

 

olduğundan bunları (14) denkleminde yerine koyarsak,

 

olur. (15) denkleminden görülüyor ki, hız artışını yükseltmek için iki noktaya dikkat etmek gerekir. Birincisi, eksoz hızını yüksek tutmak, ikinciside yakıt kütlesinin boş roket kütlesine oranını büyük yapmak. Bu da fazla yakıt sarfiyatı gerektirir. Ayrıca logaritmik olarak tesir ettiğinden ikinci derece öneme sahiptir. Bu bakımdan eksoz hızının yüksek olması tercih edilir.

Şimdi  m=m(t) nin zamana göre değişimini  inceleyelim. Bunun için en çok kullanılan iki değişim formulü vardır:

 

a) Lineer değişim kanunu

b) Ekspotansiyel değişim kanunu

Burada

dir. (13) nolu denklemin her iki yanını dt/m ile bölelim.

 

bulunur. Burada  f(t) rokete etkiyen reaktif kuvvettir. Eğer lineer değişim kanunu (16) denkleminde kullanılırsa,

 

bulunur. Eksoz hızı  V_e = sabit  kabul edilirse, reaktif kuvvetin sabit olduğu görülür.

PROBLEM: Uranyum bozunması ile ortaya çıkan parçacıklar, silindirik bir roketin içinde 10⁴ km/sn hızla her yöne yayılmaktadır.
a) Öne giden parçacıkların absorblanıp, arkaya gidenlerin yalnız eksen doğrultusunda hareket ettikleri varsayılarak roket hızının 11.2 km/sn ye ulaşması için ne kadar yakıt gerekeceğini,
b) Yakıtın 100 sn'de tükendiğini varsayarak 1 sn'de roketin cihazlarınca absorblanan ortalama enerjiyi ve gücü,
c) Yayılan tüm parçacıkların yansıtılarak eksen doğrultusunda püskürtüldüğünü varsayarak (a) şıkkındaki durum için ne kadar yakıt gerektiğini bulunuz.

ÇÖZÜM: Roketim kütlesinin m=10³ kg olduğunu varsayalım.

a) Bozunan kütlenin yarısı tekrardan roket içinde kaldığından, momentumun korunumuna göre,

    denkleminden

b) t =100 sn, 1 sn'deki ortalama enerji ve gücü hesaplayalım,
 

PROBLEM: Bir roket atış rampasına düşey olarak yerleştirilmiştir. Roketin ağırlığı (yakıt dahil) 10³ kg, yakıtın yanma hızı 2 kg/sn'dir. _e için öyle kritik bir değer bulunuz ki roket ancak yerinden kalksın.

ÇÖZÜM:

 

PROBLEM: Öz itimi 500 saniye olan bir rokette ekzost hızını bulunuz.

ÇÖZÜM:

Not:  Kaybedilen kütle (m_e) ile g arasında bir bağıntı vardır. Yükseklik arttıkça g'nin degeri azalmaktadır. Ancak roket atış rampasında olduğundan yeryüzündeki g değeri kullanılmıştır.

Hiçbir yazı/ resim  izinsiz olarak kullanılamaz!!  Telif hakları uyarınca bu bir suçtur..! Tüm hakları Çetin BAL' a aittir. Kaynak gösterilmek şartıyla  siteden alıntı yapılabilir.

The Time Machine Project © 2005 Cetin BAL - GSM:+90  05366063183 -Turkiye/Denizli