2°) La Relativité générale d’Einstein

Toujours comme annoncé, je vais faire quelques rappels sur la théorie de la relativité générale. Je conseille toutefois vivement au lecteur de se référer constamment au dossier suivant de Futura-Sciences pour des explications plus détaillées, voir même de le lire comme préambule indispensable avant de continuer pour qui n’a jamais rien lu sur la Relativité Générale (en abrégé RG).


Einstein fut assez vite confronté au problème de la réconciliation entre la théorie de la gravitation de Newton et sa propre théorie de la relativité restreinte.

Laplace avait montré que l’influence de la gravitation devait se propager au moins plusieurs millions de fois plus vite que la lumière pour correspondre aux orbites des planètes observées dans le système solaire.

En outre, la théorie d’Einstein traite de la description des mouvements dans des référentiels sans accélérations. Miraculeusement ces deux problèmes sont liés et peuvent être surmontés par la remarque incroyablement simple suivante, les masses inertes et gravitationnelles des corps sont identiques. Qu’est-ce que cela signifie ?

La masse inerte est le cœfficient qui intervient dans la loi de Newton liant l’accélération d’un corps à la force qu’il subit, celle dite gravitationnelle est liée à l’estimation de l’intensité de la force qu’un corps subit dans un champ de gravitation. Cela est d’autant plus troublant que dans le cas d’une force électrique ou magnétique c’est la charge qui apparaît, on soupçonne donc un lien entre lois de la mécanique et loi du champ de gravitation.

Une application frappante de cette égalité c’est aujourd’hui les expériences dans des avions momentanément en chute libre. A l’intérieur tous les corps chutant à la même vitesse par rapport à la Terre, ils se mettent à flotter les uns par rapport aux autres.

Localement on peut donc trouver un référentiel dans lequel les effets du champ de gravitation s’annulent !

Inversement on peut trouver un référentiel accéléré tel qu’un observateur puisse se croire immobile mais soumis à un champ de gravitation. Le pas fondamental suivant pour atteindre les fondements de la relativité générale consiste à regarder ce qui se passe lorsqu’on essaye d’appliquer la relativité restreinte à des corps accélérés. Généralement on considère le cas d’un disque en rotation uniforme.

Chaque point le long d’un rayon est soumis à une vitesse v de plus en plus importante lorsqu’on s’éloigne du centre du disque. Une horloge en chacun de ceux-ci aura donc un décalage de plus en plus prononcé au fur et à mesure qu’on s’éloigne de ce centre. En outre la mesure de la circonférence du disque indique en raison de la contraction des longueurs que celle-ci n’apparaît pas comme vérifiant la relation C=2 R.

La géométrie spatiale n’est donc plus euclidienne pour certains observateurs et ceci en relation avec le fait qu’on est en présence de mouvements accélérés.

Or, on l’a vu, une accélération dans un référentiel est interprétable localement comme la présence d’un champ de gravitation. On vient donc de mettre en évidence un lien entre gravitation et géométrie de l’espace. Einstein en conclut que les phénomènes gravitationnels devaient être en toute généralité liés à une géométrie non euclidienne de l’espace-temps et pas seulement de l’espace, sans quoi on aurait une contradiction avec le concept même d’espace-temps en régime sans gravitation.

C’est tout naturellement qu’il fut conduit à utiliser la théorie générale des espaces courbes à N dimensions introduite au 19 ième siècle par Riemann.

Riemann, Christoffel, Ricci-Curbastro sont les mathématiciens ayant développé les outils de géométrie non euclidienne nécessaires à la formulation de la relativité générale.

Dans ceux-ci la géométrie n’est plus euclidienne, la somme des angles d’un triangle ne fait plus 180° et la circonférence d’un cercle n’est plus égale à 2R. C’est ce qu’on peut facilement constater avec des figures géométriques sur les surfaces ci-dessous :

CERN yellow report 91-06 Ruth M. Williams

La métrique précédente apparaissant dans l’intervalle sous forme infinitésimale se trouvera généralisée en et sera décrite par un tenseur qui bien évidemment se réduit au précédent lorsque l’espace est plat.

Son introduction remonte aux investigations de Gauss au début du 19 ième siècle sur la géométrie des surfaces courbes, une évidente conséquence de ses travaux sur la géodésie.

Remarquons aussi qu’il existe le concept d’action et de réaction en physique Newtonienne. Les forces centrifuges sont liées à des référentiels accélérés et par le principe d’équivalence interprétable comme des forces gravitationnelles, à quoi pourrait donc correspondre la réaction de la matière à une accélération par changement de référentiel ?

Dans le contexte précédent une réponse émerge naturellement, c’est l’espace-temps lui-même qui doit se déformer !

On retrouve d’une autre façon une liaison entre un espace-temps à géométrie variable et le champ de gravitation.

Comme une distribution de matière est liée à une distribution d’énergie, qu’en outre la matière génère un champ de gravitation, on en déduit qu’il doit exister des équations généralisant celles de la gravitation Newtonienne et connectant distributions de matière/énergie et géométrie de l’espace-temps.

                                               

L’exploit principal d’Einstein fut d’obtenir ces équations, elles s’écrivent :

 

Le membre de gauche contient la géométrie de l’espace-temps, on y trouve le tenseur métrique  ainsi que ses dérivées spatiales et temporelles. Il s’agit du fameux tenseur d’Einstein construit à l’aide du tenseur de courbure de Riemann Christoffel

 

qui une fois contracté (par sommation selon Einstein de deux indices, cf. précédemment) donne le tenseur de Ricci à deux indices.

 

Le membre de droite contient, par exemple, l’énergie et la quantité de mouvement attribuées à une distribution de matière ou de champ électromagnétique. Cela est contenu dans le tenseur T à deux indices que l’on appelle le tenseur d’impulsion-énergie. La métrique de l’espace-temps devient donc bien un objet dynamique déterminé par la distribution et le mouvement de la matière/énergie.

Tournons-nous maintenant vers un autre concept important en relativité générale.

La généralisation d’une ligne droite en espace-temps courbe est ce qu’on appelle une géodésique. Ainsi sur la surface de la Terre, si l’on part de l’équateur pour atteindre le pôle en suivant la longitude coupant le point de départ ce sera précisément une telle courbe.

De manière générale c’est la courbe de longueur minimale entre deux points sur une surface. Selon Galilée et Newton un corps en l’absence de force est au repos ou se déplace selon une trajectoire rectiligne uniforme, une droite.

La généralisation en espace-temps courbe est donc bien une géodésique et si en physique Newtonienne une force se décrit par un écart à une trajectoire rectiligne uniforme alors, dans ce cadre, la gravitation selon Einstein n’est plus une force au sens de Newton car les corps ne font que suivre des trajectoires ‘droites’ dans l’espace-temps sous l’action de la gravitation.

C’est ce qui est illustré par les schémas ci-dessous pour le mouvement des planètes autour du soleil.

CERN yellow report 91-06 Ruth M. Williams

On s’attend bien sûr à une modification de la théorie du mouvement des planètes.

Comme l’a fait Schwarzschild il est possible de trouver une solution généralisant celle de la théorie du potentiel Newtonien pour un astre.

 
Karl Schwarzschild

A l’extérieur d’une étoile parfaitement sphérique, de masse M et sans rotation (on parle de cas statique), la géométrie de l’espace-temps est décrite par :

 

Il existe aussi une solution interne que l’on écrira simplement sous la forme ci-dessous :

 

Si l’on considère une sphère de rayon r à l’intérieur de l’astre, elle contiendra une masse m(r). Ce qui explique son apparition dans l’intervalle d’espace-temps précédent.

Ces solutions étaient en fait des mines d’or dont les richesses mettraient des dizaines d’années à se révéler. Le premier signal allait venir d’Einstein en 1935.

 
Diagramme de plongement 2d de la solution de Schwarzschild

Entre-temps, on avait remarqué deux problèmes. Lorsque la masse d’une étoile décrite par les solutions précédentes passait sous le rayon Rs= (ou 2GM lorsque l’on pose c=1 dans le système d’unités habituellement utilisé) dit rayon de Schwarzschild que se passerait-il ? Déjà la première solution dans le vide semble devenir pathologique lorsque r=Rs car l’on obtient l’infini pour le second terme de la métrique.

                     

De même, en r=0 et toujours dans le premier cas, on trouve que la courbure de l’espace-temps devient infinie. C’est là qu’on se met à parler de singularité pour la géométrie de l’espace-temps en ce point où les équations d’Einstein et la structure de l’espace-temps s’effondrent.

4°) L’Univers de Gödel et la solution de Kerr

A - L’Univers de Gödel

La généralisation dans le cadre de la RG de la solution newtonienne décrivant le champ de gravitation d’une étoile  ne décrit avec celle de Schwarzschild qu’un corps dénué de rotation. Ce n’est pas très réaliste du point de vue de l’astronomie car les étoiles, tout comme les planètes , sont animées d’un mouvement de rotation.

Une des premières solutions décrivant le champ généré par un corps en rotation fut celle de Van Stockum, (Stockum, W. J. van (1937). The gravitational field of a distribution of particles rotating around an axis of symmetry.. Proc. Roy. Soc. Edinburgh A 57: 135). L’histoire de son auteur vaut un roman à elle toute seule.

C’est aussi le premier exemple où l’on voit une connexion entre le voyage dans le temps et l’existence d’une rotation associée à l’espace-temps. Probablement inspiré par cette découverte, par de nombreuses discussions avec Albert Einstein (dont il était le collègue et l’ami à Princeton) sur l’espace, le temps et leurs relations avec la physique et la philosophie le grand logicien Kurt Gödel stupéfia le monde en 1949 en exhibant une solution des équations d’Einstein décrivant un Univers en rotation. Ce qu’elle avait d’étrange était qu’il existait à l’intérieur de celle-ci des trajectoires permettant à un voyageur de remonter dans son propre passé !

 
Kurt Gödel et Einstein à Princeton

Comment cela est-il possible ?

Il existe dans cette solution un axe de rotation privilégié dans l’Univers, au fur et à mesure que l’on s’éloigne de cet axe la structure causale de l’espace temps se modifie. Il existe toujours une vitesse limite mais si l’on introduit un champ de cônes de lumière on s’aperçoit que ceux-ci basculent de plus en plus au fur et à mesure que l’on s’éloigne de l’axe de telle sorte que la direction du futur pour un observateur à l’intérieur de son cône de lumière coïncide maintenant avec une trajectoire remontant dans le passé !

Un tel basculement des cônes de lumière est justement caractéristique du passage de la relativité restreinte à la relativité générale, comme on l’a vu la métrique est alors dynamique.

C’est un phénomène de la plus haute importance, on le verra plus loin pour les trous noirs ou la cosmologie.

 
CERN yellow report 91-06 Ruth M. Williams

De cette façon, il existe dans la solution de Gödel un ensemble de trajectoires dites de genre temps closes qui, parcourues par un observateur à l’aide d’une fusée, lui permettraient de remonter dans le temps. Dans cette solution de Gödel il est important de noter que seuls des voyages dans le passé sont admis, à part bien sûr les voyages dans le futur habituels style jumeaux de Langevin.

 
CERN yellow report 91-06 Ruth M. Williams

Une remarque intéressante, cette solution cosmologique décrit un Univers sans singularité initiale.

L’existence de boucles causales fermées du genre temps se trouve en fait étroitement liée à l’absence de singularités en générale dans les solutions des équations d’Einstein. Autant prévenir tout de suite le lecteur, les données issues de l’observation du fond de rayonnement cosmologique n’indiquent aucun signe de rotation globale de l’Univers.

B - La solution de Kerr :

Dans le cadre d’une meilleure compréhension des solutions décrivant des objets astrophysiques réalistes, le début des années 60 est marqué par une double révolution théorique.

L’introduction par Kruskal d’un système de coordonnées permettant de décrire complètement et de façon plus précise la structure géométrique et topologique de la solution de Schwarzschild et la découverte de la solution de Kerr.

Diagramme de Kruskal :

En utilisant le système de coordonnées introduit par Eddington et retrouvé par Finkelstein, Martin Kruskal fut capable de résoudre complètement les problèmes liés à la description de la structure de l’espace-temps lorsqu’on s’aventure sous la surface délimitée par le rayon de Schwarzschild. Encore une fois, c’est la considération de trajectoires de rayons lumineux qui fut la clé pour surmonter la difficulté. On pouvait désormais représenter la géométrie passée et future de l’espace-temps de cette solution par les diagrammes ci-dessous.

Extrait de JP Luminet - Black Holes: A General Introduction

Les deux cônes définissent le futur et le passé de l’horizon des événements du trou noir, les droites avec tirets et points définissent des coupes à temps constant de l’espace-temps et les courbes verticales ressemblant à des paraboles correspondent à des sphères de rayon constant dans le temps entourant le trou noir. Comme les équations d’Einstein sont symétriques dans le temps le cône du haut correspond à un trou noir dans lequel tout ne peut que rentrer sans jamais sortir alors que le cône du bas correspond, par renversement du temps, à une solution dite de trou blanc ou encore de fontaine blanche. Ici tout sort sans jamais pouvoir entrer. La région à gauche est en relation directe avec un autre feuillet d’Univers dans un cas de type pont d’Einstein Rosen ou trou de ver de Misner. Les régions en noir sont celles ‘étalées’ par le système de coordonnées où la singularité finale se trouve, l’espace-temps s’y anéantit !

Le nouveau système de coordonnées allait se trouver précieux pour l’étude de la solution décrivant un astre  en rotation trouvée par la mathématicien Néo zélandais Roy Kerr. Son étude intensive fut l’œuvre de Brandon Carter et de Subrahmanian Chandrasekhar. En fait cette solution ne décrit exactement que ce qu’on appellera plus tard un trou noir et personne n’a réussi à démontrer qu’il s’agissait de la solution exacte décrivant la géométrie extérieure d’une étoile simple en rotation.

                           

La métrique décrivant un trou noir en rotation trouvée par Kerr peut s’écrire de la façon suivante :

 
où
 
Selon les valeurs respectives de ‘M’et ‘a’, on peut obtenir des boucles du genre temps violant les exigences de la causalité dans le cadre de cette géométrie de l’espace-temps. On ne sera pas surpris que ‘a’ soit directement lié au moment cinétique ‘J’ du trou noir en rotation.

Le trou noir de Kerr  possède, en plus d’un horizon des événements, une ergo région de forme ellipsoïdale. Tout corps en chute radiale traversant cette région, dite de ‘frame dragging’ (en français ‘entraînement des référentiels’), se verra irrésistiblement entraîné par la rotation de l’espace-temps induit par le trou noir. Il possédera donc une composante tangentielle de vitesse et l’on se retrouvera dans une situation parente (mais pas identique) à celle de l’Univers de Gödel.

Combinés à la découverte récente des quasars (interprétables à l’époque comme des étoiles super géantes nécessairement décrites par la Relativité Générale), à la détection en 1965 du rayonnement fossile prédit par les modèles cosmologiques de type Big Bang et enfin celle des pulsars en 1967 (confirmant l’existence d’étoiles à neutrons), ces nouveaux outils théoriques allaient entraîner une brutale accélération du développement de l’astrophysique relativiste et à une renaissance des recherches en Relativité Générale, éclipsée largement à partir des années 30 par les succès de la physique quantique.

 

5°) Les singularités en relativité générale et le cylindre de Tipler

A - Singularités et relativité générale.

Penrose et Hawking

L’existence d'une singularité au cœur de la solution de Schwarzschild ne permet pas, on l’a vu, de traverser le pont d’Einstein Rosen associé sans se faire complètement écraser. Une question vient alors naturellement, la solution est quand même très particulière, symétrie sphérique, un seule paramètre la masse, ne peut-on espérer trouver une solution plus générale décrivant un espace-temps sans singularité et avec un passage traversable ?

Cette question pose en fait le problème de l’apparition de singularité en relativité générale. Question abordée au milieu des années 60 par Hawking, Penrose, Geroch et Ellis dans le cadre de l’effondrement des étoiles  ou de son analogue, par renversement du temps, dans celui des solutions cosmologiques décrivant des univers en expansion.

En général c’est un problème très compliqué. Si l’on prend le cas d’une étoile elle n’est pas parfaitement homogène ni sphérique, elle tourne, elle possède un champ magnétique et des phénomènes hautement non linéaires se produisent dans la phase finale de l’effondrement de celle-ci, turbulences, ondes de choc, réactions nucléaires complexes entre les hadrons etc.…

Ils réussirent pourtant, au moyen de méthodes puissantes de la topologie différentielle et de certaines hypothèses physiques simples, à prouver que l’apparition de singularité était inévitable.

Penrose, Carter et Hawking s’appuyèrent ainsi sur les diagrammes d’espace-temps en traduisant la physique du collapse gravitationnel, les propriétés des trous noirs  et l’apparition de singularité, dans des propriétés de topologie et de géométrie différentielles associées au comportement de congruences de trajectoires de particules de matière, ou mieux de photons, en espace-temps courbe.

On est naturellement conduit à des théorèmes ressemblant à ceux portant sur les lignes de courant en hydrodynamique ou mieux encore, en optique géométrique.

La formation de singularité est alors similaire à l’existence d’un point de convergence des rayons lumineux pour les systèmes optiques. Si l’on considère que l’horizon est un peu comme le bord d’une lentille convergente alors tout ce qui le traverse doit se trouver focaliser en un seul point, le foyer, qui correspond ici à la singularité centrale.

De la même façon que l’on parle du taux de dilatation/convergence/rotation des lignes de courant dans un fluide, on aura l’équivalent pour les familles de trajectoires de photons.

Démontrer l’existence d’une singularité sera ainsi lié à l’existence d’un taux de contraction sans limites d’un faisceau de ces trajectoires au fur et à mesure qu’il se déplace sous l’horizon et tel que toutes les trajectoires se ‘focalisent’ et se terminent en un seul et même point, la singularité.

C’est ce qu’on peut voir sur le schéma ci-dessous :

 

Extrait de de JP Luminet -Black Holes: A General Introduction

Un élément clé des théorèmes est celui de surfaces piégées (‘trapped surfaces’). Tout faisceau lumineux issu de celles-ci verra alors son aire décroître (cf. les détails en appendice)

Extrait de de JP Luminet -Black Holes: A General Introduction

Sur ces trois diagrammes correspondant à la formation d’un trou noir par effondrement d’une étoile, ainsi qu’à la structure d’un trou noir de Kerr  en rotation, on voit bien le basculement des cônes de lumière. Remarquez aussi la projection du sommet de la section de cône futur d’un événement donné ainsi que celle de cet événement sous forme de point.

Le caractère inévitable de l’effondrement peut ainsi clairement se voir à partir du comportement du champ des cônes de lumière car ceux –ci s’inclinent au fur et à mesure que l’on se rapproche de l’horizon, sont tangents à celui-ci puis basculent complètement de façon à ce que toutes les trajectoires convergent vers une singularité centrale où l’espace-temps s’anéantit. Rien ne peut donc sortir d’un trou noir et tout ce qui y rentre doit finir par atteindre la singularité très précisément à cause de ce changement de la structure causale de l’espace-temps que les modifications du champ de cônes en champ gravitationnel fort expriment.

Il faut bien voir, en outre, qu’il arrive un moment où l’ajout d’une pression pour s’opposer à l’effondrement correspond à augmenter tellement la densité d’énergie qu’au lieu de s’opposer à celui-ci, celle-ci le favorise, et c’est l’espace-temps lui-même qui s’effondre.

On ne peut dès lors plus faire intervenir une éventuelle force de répulsion issue de la dégénérescence quantique de composés supposés, mais inconnus, des particules dites actuellement ‘élémentaires’.

On rappelle en effet que les naines blanches tirent leur stabilité de la pression de dégénérescence des électrons, ce qui donne une taille de l’ordre de celle la Terre pour une étoile de la masse du Soleil. Alors que pour des étoiles à neutrons, beaucoup plus petites car d’un diamètre de l’ordre de quelques dizaines de km seulement, c’est la pression de dégénérescence (et surtout l'interaction nucléaire forte qui est répulsive à courtes distances) des neutrons qui entre en jeu.

Pour finir, on retiendra que les théorèmes de singularité reposent sur les deux grandes classes d’hypothèses suivantes :

Conditions sur l’espace-temps : surface de Cauchy, pas de boucles temporelles, limites sur la rotation de l’Univers ou des corps.

Contraintes sur l’énergie : conditions fortes, faibles et dominantes sur la positivité de l’énergie. Ce sont ces dernières conditions que Thorne sera conduit à violer pour obtenir des wormholes, elles portent essentiellement sur le tenseur impulsion-énergie, source du champ de gravitation.

De manière similaire, l’apparition de singularités en cosmologie s’étudiera et s’établira à partir du comportement de basculement des cônes de lumière et de ‘focalisation’ des trajectoires des rayons lumineux au fur et à mesure que l’on remonte dans le temps.
C’est ce que l’on voit sur le diagramme suivant :

CERN yellow report 91-06 Ruth M. Williams

Une série de théorèmes importants et très généraux, pour ce qui est de la cosmologie, sont ainsi obtenus en 1970 conjointement par Hawking et Penrose. Ce dernier avait donné un premier théorème pour l’effondrement des étoiles en 1965.

En résumé, il n’existerait donc pas de passage à travers l’espace-temps ouvrant à l’humanité la route des étoiles ou la possibilité de voyager dans le temps.

Bye bye 2001 l’odyssée de l’espace ou les aventures de Valérian et Laureline !

B - Le cylindre de Tipler.

La décennie 70 s’achevait alors par le triomphe de la théorie des trous noirs et l’impossibilité d’utiliser ceux-ci comme machines spatio-temporelles.

Et pourtant, quelques signes avant coureurs surgirent simultanément :