KUANTUM MEKANIGI

Bohr atom modelinin açiklamadigi noktalar :

 

 --->Geçis kurallari:Bazi spektrum çizgilerinin digerlerinden neden daha siddetli olduklarini

açiklayamaz.

 

 --->Bazi enerji geçislerinin geçis ihtimallerinin neden daha fazla oldugunu açiklayamaz.

 

 --->Pek çok spektrum çizgisinin,aslinda dalga boylari birbirine çok yakin birkaç farkli çizgisinden

olusmasinin sebebini söyleyemez (n kuantum sayisindan farkli kuantum sayilari için kurallarin olmasi ).

 

 --->Atomlarin birbiriyle etkilesmelerini ve etkilesme sonuçlarini açiklayamaz.

 

 --->Kuantum mekanigi ; bu kuram (Bohr) yetersiz olunca daha geni bir kuram olarak ortaya çikmistir. Bu yaklasim E. Sehr Ödinger, W.Heisenberg, M.Born, P.Dirac tarafindan gelistirilmistir. Bu kuram genel olarak KUANTUM kurami olarak adlandirilmis ve Kuantum Mekanigi (Fizigi) olarak bilinmektedir.

 

Klasik fizik kuantum mekaniginin özel durumudur.

 

Klasik Mekanikte;

Bir parçacigin gelecekteki durumu , parçacigin baslangiçtaki konum ve momentumu

ile üzerine etki eden kuvvetler tarafindan tamamen belirlenir.

 

Kuantum Mekaniginde ;

Gözlenebilir büyüklükler arasinda bagintilar bulur fakat belirsizlik ilkesi, gözlenir

 bir büyüklügün dogasinin atomlarin dünyasinda farkli oldugunu öne sürer.

--->Sebep ve sonuç arasinda hala bir iliski vardir , fakat anlamlarin yorumlanmasi gerekir.

 

Klasik mekaniginbelgesi olan , gelecek hakkindaki kesinlik, kuantum mekaniginde olanaksizdir, çünkü bir parçacigin ilk durumu yeterince kesinlikte saptanamaz .

 

--->Belirsizlik ilkesi : Bir parçacigin simdiki konumunu ne kadar iyi biliyorsak , daha sonraki momentumu ve dolayisiyla konumu hakkindaki bilgimiz o kadar azalir.

 

--->Kuantum mekaniginin , aralarindaki iliskileri arastirdigi büyüklükler OLASILIKLAR ’dir

 

---> Bohr modelinde elektronun yörünge yariçapinin r=5,3x10^{-11 m oldugunu kesinlik derecesinde belirtmek yerine Kuantum mekanigi bunun EN OLASI yariçap oldugunu söyler.}

 

 --->Klasik mekanikteki kesinlikler aldaticidir , deneyle görünürdeki uyumun sebebi , siradan cisimlerin ortalama davranistan sapmayanlarin dikkat çekmeyecegi kadar çok sayida atomdan olusmaktadir.

DALGA FONKSIYONU

’nin fiziksel bir yorumu olmamakla beraber , ‘nin belirli bir yerde ve belirli bir zamandaki degeri , parçacigin o zamanda orada bulunma olasiligi ile orantilidir .

 

Cismin çizgisel momentumu , açisal momentumu ve enerjisi’den bulunabilen diger niceliklerdir.

 

Kuantum mekaniginin problemi, bir cismin hareket özgülügü dis kuvvetlerinin etkisiyle sinirlandiginda cismin‘sini bulmaktir.

 

‘nin hem gerçel hem de sanal kismi vardir. Fakat olasilik, bir pozitif gerçel nicelik olmalidir.

 

parçacik kesin var

 

--->Parçacigi bulma olasilik yogunlugu  P= ise

 

 

denklemine uyan dalga fonksiyonuna NORMLANMIS bir dalga fonksiyonu denir.

 

P belirli yer ve zamanda tek bir degere sahip olabileceginden normlana bilir olmanin yaninda TEK DEGERLI olmalidir.

          

   1. her yerde sürekli ve tek degerli olmalidir.

 

2.   her yerde sürekli ve tek degerli olmalidir.
3.  normlanabilir olmalidir.

 

Normalanmis ve yukaridaki sartlara da uyan bir fonksiyonu verildiginde, onun temsil ettigi parçacigin belirli bir bölgede bulunma olasiligi;

 

ile verilir.

 ---> Newton mekaniginin temel denkleminin II. hareket denklemi olmasi gibi , kuantum mekaniginin temel denklemi olan SCHRODINGER DENKLEMI , degiskeni için bir dalga denklemidir.

 

       Klasik fizikte ; x yönünde v hiziyla ilerleyen y dalgasinin dalga denklemi ;

 

dir. Dalga denkleminin, olusabilecek farkli türdeki dalgalari temsil etmek için çözümleri;

olmalidir.

 

 Hiçbir kuvvetin etkisi altinda bulunmayan , dolayisiyla , sabit bir hizla dogru bir yol izleyen bir “serbest” dalga es degeri , sönümsüz (sabit A genlikli ) ,tek renkli (sabit w açisal frekansli) +x yönündeki harmonik dalgalar için genel çözüm ;

 

Klasik fizikte denklemin ikinci kismi (sanal kismi) atilir.

ZAMANA BAGLI SCHRODINGER DENKLEMI

Kuantum mekaniginde dalga fonksiyonu,genel dalga hareketinin y dalga degiskenine karsilik gelir.Fakat , , y gibi ölçülebilen bir büyüklük degildir ve karmasik olarak ifade edilebilir.

          Bu denklem sadece serbest hareket eden parçaciklar için dogrudur.

 

          Schrödinger denklemi, belirli kisitlamalara maruz birakilmis bir parçaciga eslik eden dalga fonksiyonun diferansiyel denklemidir (örn. çekirdegin elektrik alani ile atoma bagli bulunan bir elektrona eslik edendalga fonksiyonu.).

Schrödinger dalga denklemi , mevcut fizik ilkelerinden baslanarak çikarilamaz.

 

       Enerji ve momentumun bir matematiksel islemci olarak ortaya çikmasi ve ayni zamanda bu islemcilerin karmasik sayilarla ifade edilmeleri klasik fizikteki nicelikten farkli olmasi gerektigini göstermektedir. Incelenen sistemde parçacik sayisi sabit olmali, parçaciklar rölativistik hareket etmemelidir.

Parçacik sadece korunumlu kuvvetlerin etkisi altinda ise mekanik en. korunur. Isik hizina göre düsük hizlardaki bir parçacigin toplam enerjisi, Bir boyutta zamana Bagli Schrödinger Denklemi

 

     Üç boyutta zamana bagli Schrödinger denklemi

 

---->Cisim üzerine etki eden kuvvetlerle sahip oldugu potansiyel enerji kazanmasina neden olan u(x,y,z,t) fonksiyonunun yapisi dalga fonksiyonu bulunur. için bu dalga denkleminin çözümü yapildiktan sonra bu parçacigin belirli bir x,y,z,t ‘deki  olasilik yogunlugu hesaplanir.

 

---->Schrödinger dalga denklemi,fizigin diger ilkelerinden çikarilamaz ! KENDISI TEMEL BIR ILKEDIR.

 

B  BEKLENEN DEĞER

 

--->Bir dalga fonksiyonundan bilgi edinilmesi

 

 --->Fiziksel durumu belli bir parçacik için Schrödinger denklemi çözüldükten sonra bulunan

fonksiyonu parçacik hakkindaki belirsizlik ilkesi sinirlari içerisinde tüm bilgiyi verir.

 

 

--->ile temsil edilen x ekseni boyunca hareket eden bir parçacigin konumunun <x> beklenen degeri,

dalga fonksiyonu tarafindan temsil edilen çok sayida parçacigin bir t anindaki konumlarini ölçüp ortalamasini alarak

 

bulacagimiz x degeridir.

 

 

--->Bu klasik fizikte kütle merkezi kavrami düsünülebilir.x ekseni boyunca ;

 

 

’de N₁ parçacik, x₂’de N₂, x₃’de N₃, … x_n’de N_n parçacik

 

 

Bu özdes parçaciklarin ortalama konumu;,

 

 

 

Bu formul <x>’in ’nin kütle merkezinde yerini aldigini söylemektedir.grafigi çizilirse denge noktasi <x>’ te olacaktir.

 

---> Her hangi bir büyüklügünde beklenen degeri bulunabilir.

 

U(x) potansiyel enerjisinin beklenen degeri;

 

-momentumun ve Enerjinin bu yolla beklenen degerleri hesaplanamaz çünkü belirsizlik ilkesinden dolayi p(x) bir

 

fonksiyon olamaz.

ZAMANDAN BAGIMSIZ SCHRÖDINGER DENKLEMI

Parçacigin potansiyel enerjisi zamana bagli degilse Schr. denkleminde de bu kisim arindirilabilir.

 

Sinirlandirilmamis bir parçacigin dalga fonksiyonu;

 

Zamandan Bagimsiz Schrödinger denklemi

DURAN DALGA KAVRAMI

--->Schrödinger denkleminin çözümlenmesinde enerji kuantumlanmasinin elde edilmesine yakin bir benzesme olarak L uzunlugunda ve iki ucu sabit bir biçimde olusan duran dalgalardir.

 

--->Burada bir yönde sürekli olarak yayilan tek dalga yerine, dalgalar hem +x hem de –x yönlerinde gitmektedirler. Bu dalgalar, y yer degistirmesinin he  n=0,1,2,3... iki uçta da sifir olmasi sartina (SINIR SARTI) uymak zorundadirlar.

 

 ---> Ayrica y=(x,t) fonksiyonu, fonksiyonu gibi uç noktalar disinda da sürekli,sonlu ve tek degerli olmalidir.

 

 --->Sinir sartlari altinda tek çözümleri;

        n=0,1,2,3.........

 dalga boylari için vardir. Ancak bu dalga boylari için bu sinir sartlari altinda y(x,t) fonksiyonu vardir.

ÖZDEGERLER VE ÖZFONKSIYONLAR

--->Zamandan bagimsiz Schrödinger denkleminin çözülebildigi E_n enerji degerleri ÖZDEGERLER,

bunlara karsilik gelendalga fonksiyonlari ise ÖZFONKSIYONLAR olarak bilinir.

 

--->Hidrojen atomunun enerji seviyeleri;

 

bir özdegerler kümesine örnektir.

 

Fakat dinamik bir G degiskeni kuantumlanmamis olabilir. Bu durumda, çok sayida özdes

sistem üzerinde yapilan G ölçümleri, tek bir sonuç yerine;

  

Beklenen degeri olan yaygin bir dizi verir. Örnegin H atomundan elektronun konumu kuantumlanmis degildir, dolayisiyla elektronun çekirdegin etrafinda birim hacme düsen belirli bir yogunlugu ile bulundugunu düsünmemiz gerekir. Yani önceden belirlenebilen bir konum yada klasik anlamda bir yörünge yoktur.

 

KUTUDAKI PARÇACIK

Zamandan bagimsiz Schrödinger denklemini dahi çözmek için ayrintili ve detayli matematiksel

tekniklere gerek vardir.

 

--->En basit kuantum mekanigi problemi, sonsuz derecede sert duvarlari olan bir kutuya

hapsolmus bir parçaciktir.

 

--->Daha önceden enerji seviyelerinin kesikli oldugunu görmüstük.Simdi her enerji düzeyine karsilik gelendalga fonksiyonlarini bulalim.

 --->x-ekseni üzerinde parçacigin 0-arasinda oldugunu kabul edelim.

 

Bu durumda parçacik duvarlara çarptiginda enerji kaybetmek ve toplam enerji sabit kalir.

 

U potansiyel enerjisi sinirlarda sonsuz , içinde ise sabittir. Kolaylik olmasi için içeride sifir (U=0) alinir.

 

Parçacik sonsuz enerjiye sahip olmayacagindan kutunun disinda bulunamaz, bu sebeple dalga fonksiyonu; ,  için sifirdir.

Bu durumdaaraliginda  bulunmalidir.

 

 U=0 için Schrödinger denklemi;

dir. Burada A ve B katsayilari hesaplanmalidir.Bu çözüm x ==0  için = 0  sinir sartini

saglamalidir.

 

1. Cos0=1 oldugundan ikinci terim parçacigi açiklayamaz. Çünkü x=0 ‘ da sifir olmaz.Bu
2. durumda sabit olan B=0 olmalidir.
3. Sin0=0 oldugundan x=0 için her zaman = 0 olur.

 

--->Fakat sadece x = için fonksiyonu sadece,

 

 

oldugundan sifir olacaktir. Bu durumda sadece bazi enerji degerleri olabilecegini göstermektedir.Sistemin ENERJI DÜZEYLERINI olusturan bu ÖZDEGERLER E_n için çözerek bulunur.

 

KUTUDAKI PARÇACIK                 n=1,2,3....

 

Bu denklem 3. bölümdeki sonuçlarla aynidir.

 

KUTUDAKI PARÇACIGIN DALGA FONKSIYONLARI

Sonsuz potansiyele sahip kuyuda enerjileri E_n olan parçacigin dalga fonksiyonlari ( B=0 oldugundan )

;

Bu özfonksiyonlar ( n kuantum sayili ) ,,x ‘in sonlu tek degerli bir fonksiyonu olupve  (sinir sartlari disinda ) süreklidir.

 

Ayrica ’nin tüm yüzey üzerinden integrali sonludur. Bunu  arasinda integral olarak belirleriz.

 

--->Kutudaki bir noktada bir parçacigin bulunma olasiligi farkli kuantum sayilari için farkli olacaktir.

 

--->Klasik fizik herhangi bir yerde bulunma olasiliklarinin ayni oldugunu söyler.

 

pozitif veya negatif olabildigi halde,  her zaman pozitif olup,normlanmis oldugundan verilmis bir x noktasindaki degeri, parçacigi arada bulma olasilik yogunluguna esittir. x=0   ve   x =de   = 0 ’dir.

 

SONLU POTANSIYEL KUYUSU

 

--->Gerçekte potansiyel enerjiler hiçbir sonsuz olmaz. Sonlu E_k’ler ise daha gerçekçidir.

 

--->Klasik mekanige göre kuyu içerisinde E enerjisine sahip parçaciklar kenarlara çarptiginda I ve III bölgelere girmeden geri yansir.

 

--->Kuantum mekaniginde ise bu bölgelere sizma ihtimali vardir.

 

---> I ve III bölgeler için Schrödinger dalga denklemi;

Bu durumdafonksiyonun çözümünde hem sinüslü hem de kosinüslü olmalidir.

 

  x = 0 ve x = sinir sartlarinda  ve  sürekli olmalidir. Bu durumda simetrik bir yapi olmak zorundadir. Bu zorunlulugun bazi E_n degerleri için mümkün olacagi sonucuna varilir.

 

---->Kutuya uyan dalga boylari ,ayni genislikteki bir sonsuz kuyudakilerden daha uzundur ve karsilik gelen parçacik momentumlari daha küçüktür )

 

--->E_n enerji düzeyleri, her n için sonsuz kuyudaki parçaciginkinden düsüktür.

Tünel Olayı

--->Bir potansiyel engelini asacak enerjisi olmayan bir parçacik yine de engelin içinden geçebilir.

 

 --->Sonlu potansiyel kuyusunda duvar kalinliklari sonsuz alinmisti.Burada ise sonlu kalinlikta, sonlu potansiyel degerine sahip bir engele çarpan bir parçacik incelenecektir.

 

 --->Parçacigin engelden geçip diger taraftan çikmasi için büyük olmayan bir olasilik vardir.

 

---> Bazi radyoaktif çekirdeklerde -parçaciklarinin yayimlanmasi örnektir.

 

--->Bazi yari iletken diyotlarin çalismasi sirasinda elektronlar E_k’leri engel yüksekliklerinden daha küçük oldugu halde potansiyel engelinden geçerler.

 

--->Engelin her iki tarafinda U=0 olmasi parçacik üzerine hiçbir kuvvetin etkilememesi anlamina gelir.

 

Bu bölgedeki parçaciklar için Schrödinger denklemleri;

Yansitilacak bir sey olmadigindan G=0

 

--->Gelen dalga içinolasilik yogunlugu ise V₁₊ gelen dalganin grup hizi olmak üzere belirli bir bölgeye (birim alan basina) saniyede gelen parçacik sayisi

T gelen parçaciklarin engelden geçen kismidir.

 

--->Klasik olarak T=0 dir, çünkü E<u olan bir parçacik engelin içinde bulunamaz.

 

--->Kuantum mekaniksel olarak;

 

--->Üsler gerçel oldugundan  salinim yapmaz, yani hareketli bir parçacigi temsil etmez.

 

---> oldugundan bu bölgede parçaciga karsilik gelen hiz sanalidir.

 

---->Fakatolasilik yogunlugu sifir degildir ve parçacigin engelin içinde bulunma olasiligi vardir.Buradaki parçacik III. bölgeye çikabilir veya I. bölgeye geri dönebilir.

SINIR KOSULLARININ UYGULANMASI

T geçis olasiligini hesaplamak için ’e uygun sinir sartlarinin uygulanmasi gerekir  her yerde sürekli olmalidir

 x=0 ve x=L araliginin ’nin zayiflayacagi kadar genis oldugunu

düsünelim

-->Buna göre yaklasik geçis olasiligi              

HARMONIK SALINICI

--->Enerji düzeyleri esit araliklidir.

 

---->Harmonik hareket, herhangi bir sistem denge konumun etrafinda titrestiginde gerçeklesir.

 

--->Harmonik hareket için kosul,sistem denge konumundan ayrildiginda onu geriye çeken kuvvetin varligidir. Hareketteki kütlelerin eylemsizligi, denge konumunun ötesine geçilmesine kütlelerin eylemsizligi, denge konumunun ötesine geçilmesine sebep olur ve eger kaybi yoksa, sistem sonsuza kadar salinir.

 

Klasik Fizikte ;

Salinicinin enerjisi E ise parçacikve +A arasinda harmonik hareket yapar.

--->Bu klasik duruma üç kuantum mekaniksel düzeltme gerekir:

 

1. Izin verilen enerjiler sürekli olmayan, sadece belirli bazi degerlerden olusan spektrum verecektir.
2. Izin verilen en düsük enerji degeri 0 olmayacak fakat belirli bi E=E₀ degerine sahip olacak.
3. Sahip oldugu potansiyel kuyusundan sizmasi ve –A ile +A sinirlari disina tasima olasiligi olacaktir.

 

Enerji Düzeyleri:

 

     Harmonik salinici için schrödinger denklemi:

 

 

Bu denklemi çözmek için asagidaki büyüklükler kullanilirsa

--->Bu denklemin kabul edilebilecek çözümleri;

(n=0,1,2,3,....).

 

 --->Enerji düzeyleri arasindaki araliklar, sadece harmonik salinicilar için sabittir.

ISLEMCILER, ÖZDEGER VE ÖZFONKSIYONLAR

--->Klasik olarak p ve E’nin beklenen degerlerinin bulunmasi konum ve u(x) potansiyel gibi olacagi düsünülür.

        

 

--->Fakat belirsizlik ilkesi nedeniyle p(x,t) ve E (x,t) gibi fonksiyonlar olmaz.

 

--->x ve t belirlendikten sonra  bagintilari p ve E‘nin belirlenemeyecegini gösterir veya E ve p belirlenmisse x ve t tam olarak belirlenemez.

 

--->Klasik fizikte böyle bir sinirlama yoktur.

 

 

Momentum ve Enerji Islemcileri

 

 

       

Kinetik enerji islemcisi;

       

 

Islemciler ve Beklenen Degerler:

 

Beklenen deger p islemcisi için neden yukaridaki sekli ile yazilir?

 

Diger ifadeler;

 

Enerjinin beklenen degeri ;        

 

Bir islemcinin beklenen degeri;      

 

Islemciler ve Özdegerler

 

         Özdeger Denklemi

 

Burada G_n gerçel bir sayi, G ise buna karsilik gelen islemci olarak bilinir.G’nin herhangi bir ölçümü sadece G_n degerinden birini verecektir.

 

 

Homilton Islemcisi

 

Bu durumda zamandan bagimsiz Schrödinger denklemi;

 

olarak yazilir. Burada E_n degerleri H’in özdegerleridir

 

KUANTUM MEKANIGI ÇALISMA SORULARI

 

1.      Bohr atom modelinin açiklayamadigi kisimlari maddeler halinde yazarak kuantum kuraminin çikis sebeplerini yaziniz.

2.      Klasik fizikle kuantum fizigi arasinda temel farkliliklar nelerdir? Açiklayiniz.

3.      Belirsizlik ilkesini klasik ve kuantum mekanigi mantigi ile yorumlayiniz.

4.      Bohr atom modelinin elektronun yariçapinin r=5.3x10^-11m oldugunu söylemesine karsilik kuantum mekaniginin bu sonuca bakisi nasil olur?

5.      Kuantum ve klasik mekanikte dalga fonksiyonunun yapisi arasindaki farkliliklar ve benzerlikleri belirtiniz.

6.      Bir dalga fonksiyonunun normlanmasi, sürekli olmasi ve tek degerli olmasi ne demektir? Bu sartlar neden önemlidir? Açiklayiniz.

7.      Klasik fizikte x yönünde v hizinda ilerleyen bir y dalgasinin dalga denklemini ve dalga fonksiyonunu yazip kuantum mekanigindeki dalga denklemi ve fonksiyonu ile karsilastiriniz.

8.      Kuantum mekaniginde serbest bir parçacigin dalga denkleminin, , klasik fizikteki denklemi ile ayni özellikte oldugunu gösteriniz.

9.      Enerji ve momentum operatörlerini bulup sonucu yorumlayiniz. Klasik fizikteki enerji ve momentumdan ne farki vardir?

10. Genel Schrödinger dalga denkleminin çikarimini yapiniz ve sonucu yorumlayiniz.

11. Zamandan bagimsiz Schrödinger dalga denkleminin çikarimini yapiniz ve sonucu yorumlayiniz.

12. Özdeger ve özfonksiyon ne demektir? Dalga denklemi ve sekil üzerinde yorumunu yapiniz.

13. Beklenen deger ne demektir? Klasik fizikteki kütle merkezi kavrami ile benzer ve farkli yönlerini belirtip, konum için genel beklenen deger denklemini elde ediniz.

14. Kuantum mekaniginde sonsuz potansiyele sahip kuyudaki bir parçacik için sinir sartlarini uygulayarak, özdeger ve özfonksiyonlarin genel denklemini elde ediniz.

15. Bulunan özfonksiyonlarin ilk üç tanesini sekil üzerinde gösteriniz. 6. sorudaki tek degerlilik kavrami ile yorumlayiniz.

16. Bulmus oldugunuz enerji denklemini, duran dalga kavrami ile karsilastiriniz.

17. Bulunan özfonksiyonlarin olasilik yogunluklarini çizerek yorumlayiniz.

Alıntı/kaynak: http://www.mevlutdogan.com/tr

Hiçbir yazı/ resim  izinsiz olarak kullanılamaz!!  Telif hakları uyarınca bu bir suçtur..! Tüm hakları Çetin BAL' a aittir. Kaynak gösterilmek şartıyla  siteden alıntı yapılabilir.

The Time Machine Project © 2005 Cetin BAL - GSM:+90  05366063183 -Turkiye/Denizli 

Ana Sayfa / index /Roket bilimi / E-Mail /CetinBAL/Quantum Teleportation-2   

Time Travel Technology /Ziyaretçi Defteri /UFO Technology/Duyuru

Kuantum Teleportation /Kuantum Fizigi /Uçaklar(Aeroplane)

New World Order(Macro Philosophy)/ Astronomy