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Física relativista

(Nov. 02) El reloj de luz: un experimento mental
JESÚS LAHERA CLARAMONTE. Departamento de Didáctica de Ciencias Experimentales. Universidad Complutense de Madrid

Un experimento de gran trascendencia en la Física moderna, pero que no requiere más que papel y lápiz para su realización. Se trata de un ''experimento mental'', una construcción teórica que puede generar consecuencias sorprendentes en el marco de la mecánica clásica.

Además de su atractivo intelectual, los experimentos mentales son imprescindibles para abordar algunos contenidos de la física relativista en la Enseñanza Secundaria.

No es una paradoja posmoderna: mi experimento favorito es un "experimento mental", una vivencia docente reiteradamente considerada en mis clases. Mis primeras referencias del experimento mental -que tomaría la denominación reloj de luz- datan de 1978, cuando preparaba las lecciones ocasionales del centenario del nacimiento de Einstein que se celebraría al año siguiente. Primero fue el conocimiento fortuito -no circulaba en el ambiente académico- de una obrita de Landau (1) de excelente divulgación, en la creencia de que "las nociones principales y las ideas de la teoría de la relatividad pueden ser expuestas de manera accesible para ser comprendidas por un círculo de lectores bastante amplio". La primera edición en lengua rusa era de 1966. La garantía científica de este librito de divulgación venía avalada por libros (2) del autor existentes en la biblioteca del departamento. ¡Landau, medalla del Instituto Max Planck (1960) y Premio Nobel de Física (1962)! También, en un libro de  Cortini (3) -que tiene su origen en el proyecto "lniziativa Relatività", que se desarrolló entre 1973 y 1976 con el objetivo principal de introducir esta teoría en los niveles italianos anteriores a la Universidad- se hace expresa mención: "o rologio a luce". Y entre los textos universitarios al uso, en 1978 tengo inmediato conocimiento de la obra notablemente innovadora en el aspecto metodológico de Tipler (4), en cuya exposición sobre el tiempo en relatividad se alude al "reloj de luz".

Refiriéndonos primeramente a la exposición de Landau, el experimento consiste en imaginarnos un tren muy veloz dotado de un dispositivo peculiar: en el suelo hay una linterna que emite un destello hacia el techo, donde un espejo refleja la luz, que retorna al suelo. Un pasajero en el tren verá el evento según la figura 1(a), pero un observador en el andén lo verá según la figura 1(b). Se argumenta cualitativamente: "Como vemos, para el observador del andén la luz evidentemente recorrió una distancia mayor que para el pasajero del tren. Por otra parte nosotros sabemos que la velocidad de la luz es velocidad absoluta: es igual, tanto para aquellos que viajan en el tren, como para los que se encuentran en el andén. Conclusión: ¡entre el envío y el regreso del rayo de luz, en el andén transcurrió más tiempo en el tren! No es difícil calcular la relación de los tiempos".



Y Landau realiza un cálculo numérico apropiado a una obra de divulgación. ("Alguien me dijo que cada ecuación que incluyera en (mi) libro reduciría las ventas a la mitad" escribiría Hawking en 1988, en el prólogo de su Historia del tiempo). El tren tiene la velocidad constante de 240.000 kilómetros por segundo; el valor de la velocidad de la luz es 300.000 kilómetros por segundo. El observador del andén establece que entre el envío y el regreso del destello de luz transcurren 10 segundos. Durante estos 10 segundos, la luz recorre la distancia de 300.000 x 10 = 3.000.000 kilómetros.

De aquí se deduce que cada uno de los lados AB y BC del triángulo isósceles ABC es 1.500.000 kilómetros. El lado AC es igual, por lo visto, al camino recorrido por el tren en 10 segundos:
240.000 x 10 = 2.400.000 kilómetros.
AD es la mitad: 1.200.000 kilómetros.
Ahora es fácil calcular la altura del vagón:
BD = AB² - AD² = 1.500.000² - 1.200.000² = 900.000 kilómetros.
Desde el punto de vista del pasajero en el tren, el recorrido de la luz duplica (ida y vuelta) este valor:
2 x 900.000 = 1.800.000 kilómetros.
Para recorrer este camino la luz invierte
1.800.000 / 300.000 = 6 segundos.

Es decir, ¡10 segundos para el observador exterior se corresponden con 6 segundos para el pasajero del interior!

El experimento original de Landau aparece formalizado en los textos citados de Cortini y Tipler. Una versión se muestra en la Figura 2 y el cálculo algebraico simplificado puede verse en la referencia  propia (5), así como su inserción en las discusiones sobre el espacio y el tiempo en la relatividad especial.



En resumen, argumentando sobre la figura, el tiempo propio para el pasajero interior es:
Tau = 2D / c.
Para el observador exterior,
t = 2D' / c
por lo que la hipotenusa del triángulo rectángulo es:
D' = ct / 2 t = -c
El otro cateto viene dado por:
vt / 2.

Del planteamiento básico emerge la habitual relación temporal relativista, (cuya deducción es más conocida por otros procedimientos):

(ct / 2)² = D² + (vt / 2)²
t = tau / 1 - v² / c²

El lector puede comprobar que el cálculo de Landau "verifica" esta fórmula. Conviene tomar c como unidad natural de la velocidad de la luz, y así el tren de Landau tiene una velocidad de:
v / c = 4/5

En los ejercicios y problemas resulta idóneo manejar la variable v de modo que origine en el cálculo "números pitagóricos".

Encontramos nuestro "reloj de luz" tratado con el detenimiento propio de un artículo en el titulado Einstein according Pitágoras(6), brillantemente explicativo. Asimismo, en los textos universitarios más recientes se muestran versiones más sofisticadas de este experimento -láser como fuente de destello, detección por fotocélulas y osciloscopios- subyaciendo la elevada abstracción original, en nuestra opinión, de Landau. Y suele tratarse en contexto más amplio (7): "Nuestro análisis de la dilatación del tiempo es independiente del mecanismo del reloj, de modo que todos los procesos físicos en un sistema móvil suceden con menor rapidez. El reloj biológico, asociado con el proceso de envejecimiento, no debería ser una excepción".

Además, en la actualidad se dispone de material audiovisual ad hoc (8). En el vídeo referenciado se muestra una simulación dinámica del "reloj de luz". Ello nos ha permitido desarrollar una investigación que plantea el asunto como problema abierto, con diversas estrategias de resolución, incluyendo, en su caso, el apoyo audiovisual. Una conclusión inmediata es que la utilización de vídeo favorece la comprensión de los aspectos cualitativos de la teoría, aunque no hemos encontrado avances significativos en los aspectos cuantitativos ni en la contextualización de la relatividad del tiempo. Por tanto, nuestro "reloj de luz" puede ser una sugerente motivación inicial para un intento asequible de comprensión de la teoría.

Referencias

(1) Landau, L. y Rumer, Y. Qué es la teoría de la relatividad. Edición en español. Mir, Moscú, 1978.

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